Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 28.
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может
а) добавить в кучу один камень или
б) увеличить количество камней в куче в два раза.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 28. Если при этом в куче оказалось не более 46 камней, то победителем считается игрок, сделавший последний ход. В противном случае победителем становится его противник. В начальный момент в куче было S камней, 1 £ S £ 27.
Задание 1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть в один ход? Укажите все такие значения и соответствующие ходы Пети.
б) У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 24, 25, 26? Опишите выигрышные стратегии для этих случаев.
Задание 2. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 10, 11? Опишите соответствующие выигрышные стратегии.
Задание 3. У кого из игроков есть выигрышная стратегия при S = 8? Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии (в виде рисунка или таблицы). На рёбрах дерева указывайте, кто делает ход; в узлах – количество камней в позиции.
Решение:
1а. для S = [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 27]
1б. S = 24 – Ваня, S = 25 – Петя, S = 26 – Ваня
2. S = 10 – Петя, S = 11 – Ваня,
3. S = 8 – Петя