ЕГЭ информатика 15 задание разбор, теория, как решать.

ЕГЭ Информатика — Задание №15: Логические выражения

Задание 15 проверяет умение анализировать логические выражения, определять их истинность и подбирать такие значения переменных, при которых выражение становится тождественно истинным (всегда равно 1).

Задачи формулируются на языке логики, но решаются с помощью простых переборов в Python.
Во всех случаях нужно проверить, при каких значениях переменных (или отрезков) выражение не даёт ложь (0).

1. Основная теория

В заданиях используются логические операции:

¬A — отрицание (НЕ) → not A
A ∧ B — конъюнкция (И) → A and B
A ∨ B — дизъюнкция (ИЛИ) → A or B
A → B — импликация (ЕСЛИ A, ТО B) → (not A) or B или короче A <= B

В Python можно записывать любое логическое выражение,
и оно будет вычисляться как истина (1) или ложь (0).

2. Тип 1 — Неравенства (арифметические условия)

Необходимо найти наименьшее или наибольшее число A, при котором логическое выражение истинно для всех положительных x и y.

Пример 1 (СтатГрад 23.10.2025):

(y > A) ∨ (152 ≠ 2y + 3x) ∨ (A < x)

1 2	(y > A) ∨ (152 ≠ 2y + 3x) ∨ (A < x)

Решение на Python:

for A in range(0, 1000):
    ok = True
    for x in range(1, 500):
        for y in range(1, 500):
            f = (y > A) or (152 != 2*y + 3*x) or (A < x)
            if not f:
                ok = False
                break
        if not ok:
            break
    if ok:
        print(A)

for A in range(0, 1000):

ok = True

for x in range(1, 500):

for y in range(1, 500):

f = (y > A) or (152 != 2*y + 3*x) or (A < x)

if not f:

ok = False

break

if not ok:

break

if ok:

print(A)

Ответ: 30

Пример 2 (Резерв 19.06.2025):

((x < A) ∧ (y < 3A)) ∨ (2x + y > 128)

1 2	((x < A) ∧ (y < 3A)) ∨ (2x + y > 128)

for A in range(1, 500):       # ищем наименьшее A
    ok = True
    for x in range(1, 500):
        for y in range(1, 500):
            f = ((x < A) and (y < 3*A)) or (2*x + y > 128)
            if not f:
                ok = False
                break
        if not ok:
            break
    if ok:
        print(A)
        break

for A in range(1, 500): # ищем наименьшее A

ok = True

for x in range(1, 500):

for y in range(1, 500):

f = ((x < A) and (y < 3*A)) or (2*x + y > 128)

if not f:

ok = False

break

if not ok:

break

if ok:

print(A)

break

Ответ: 64

3. Тип 2 — Делимость (оператор ДЕЛ)

В таких задачах используется запись ДЕЛ(x, m), что означает «число x делится на m без остатка».
В Python это записывается как x % m == 0.

Пример (пересдача 03.07.2025):

ДЕЛ(x,128) → (¬ДЕЛ(x,A) → ¬ДЕЛ(x,80))

1 2	ДЕЛ(x,128) → (¬ДЕЛ(x,A) → ¬ДЕЛ(x,80))

for A in range(1, 1000):
    ok = True
    for x in range(1, 1000):
        f = (x % 128 == 0) <= ((x % A != 0) <= (x % 80 != 0))
        if not f:
            ok = False
            break
    if ok:
        print(A)

for A in range(1, 1000):

ok = True

for x in range(1, 1000):

f = (x % 128 == 0) <= ((x % A != 0) <= (x % 80 != 0))

if not f:

ok = False

break

if ok:

print(A)

Ответ: 640

Здесь выражение читается как:
«если x делится на 128, то из того, что x не делится на A, следует, что x не делится на 80».
Наибольшее значение A, при котором это условие выполняется для всех x, равно 640.

4. Тип 3 — Смешанные условия

Иногда встречаются выражения, содержащие и делимость, и неравенства.
Решение полностью аналогично: проверяются все возможные x, y (и иногда z).

Пример:

(x % 6 == 0) → ((x % A != 0) → (x % 4 != 0))

1 2	(x % 6 == 0) → ((x % A != 0) → (x % 4 != 0))

for A in range(1, 500):
    ok = True
    for x in range(1, 2000):
        f = (x % 6 == 0) <= ((x % A != 0) <= (x % 4 != 0))
        if not f:
            ok = False
            break
    if ok:
        print(A)
        break

for A in range(1, 500):

ok = True

for x in range(1, 2000):

f = (x % 6 == 0) <= ((x % A != 0) <= (x % 4 != 0))

if not f:

ok = False

break

if ok:

print(A)

break

5. Тип 4 — Отрезки (множества чисел на прямой)

В этих задачах даны отрезки P, Q, A.
Нужно определить минимальную или максимальную длину отрезка A, при которой логическое выражение истинно при любом x.

Чаще всего выражение имеет вид:

(x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P))

1 2	(x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ P))

Пример (Демонстрационный вариант ЕГЭ 2026):

Даны P = [25; 64] и Q = [40; 115].
Найти минимальную длину отрезка A.

P1, P2 = 25, 64
Q1, Q2 = 40, 115

def inside(x, a, b):
    return a <= x <= b

best = 10**9
for a in range(0, 201):
    for b in range(a, 201):
        ok = True
        for x in range(0, 201):
            f = (not inside(x, P1, P2)) or \
                ((not (inside(x, Q1, Q2) and not inside(x, a, b))) or \
                (not inside(x, P1, P2)))
            if not f:
                ok = False
                break
        if ok:
            best = min(best, b - a)
print(best)

P1, P2 = 25, 64

Q1, Q2 = 40, 115

def inside(x, a, b):

return a <= x <= b

best = 10**9

for a in range(0, 201):

for b in range(a, 201):

ok = True

for x in range(0, 201):

f = (not inside(x, P1, P2)) or \

((not (inside(x, Q1, Q2) and not inside(x, a, b))) or \

(not inside(x, P1, P2)))

if not f:

ok = False

break

if ok:

best = min(best, b - a)

print(best)

Ответ: 24

Минимальная длина отрезка A равна длине пересечения отрезков P и Q, так как только в их общей части выражение может нарушаться.

6. Универсальные советы для решения №15

Если требуется «для всех x» — нужно проверить все x в разумном диапазоне.
Если указано «наименьшее A» — начинаем перебор снизу.
Если указано «наибольшее A» — начинаем перебор сверху или запоминаем последнее подходящее значение.
Импликацию удобно записывать как P <= Q.
Для отрезков используйте проверку a <= x <= b.
Обычно диапазона 1..1000 для x и y вполне достаточно.

7. Итог

Логические задания №15 можно решать полностью алгоритмически.
Достаточно уметь записывать формулу в виде Python-выражения и проверять, при каких параметрах она остаётся истинной.
Систематический перебор всех возможных значений — надёжный способ для любого типа таких задач.