10 класс Информатика ГДЗ учебник Босова Параграф 10

10 класс Информатика ГДЗ учебник Босова Параграф 10. Представление чисел в позиционныхсистемах счисления

Стр.108-110.

Система счисления — это способ записи чисел, который определяется алфавитом и правилами его использования. Выделяют два класса систем счисления: непозиционные и позиционные. В непозиционных системах значение цифры не зависит от её положения, а в позиционных зависит.
Позиционная система счисления — это система, в которой количественный эквивалент цифры зависит от её позиции в записи числа. Алфавитом системы счисления называют набор цифр, используемых для записи чисел. Базисом позиционной системы счисления называют последовательность степеней основания. Основание позиционной системы счисления — это количество цифр в алфавите.
В системе счисления с основанием 2 используется 2 цифры: 0 и 1. В системе с основанием 3 — 3 цифры: 0, 1 и 2. В системе с основанием 5 — 5 цифр: 0, 1, 2, 3 и 4. В системе с основанием 8 — 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. В системе с основанием 16 — 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. В системе с основанием 100 — 100 цифр: 0, 1, 2, …, 99. В системе с основанием q — q цифр: 0, 1, 2, …, q-1.
Развёрнутая форма записи числа — это представление числа в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число 143.511₁₀ в развёрнутой форме записывается как 1 × 10^2 + 4 × 10^1 + 3 × 10^0 + 5 × 10^-1 + 1 × 10^-2 + 1 × 10^-3.
Запишите в развёрнутой форме числа:
- 143.511₁₀ = 1 × 10^2 + 4 × 10^1 + 3 × 10^0 + 5 × 10^-1 + 1 × 10^-2 + 1 × 10^-3
- 1435.11₈ = 1 × 8^3 + 4 × 8^2 + 3 × 8^1 + 5 × 8^0 + 1 × 8^-1 + 1 × 8^-2
- 143.511₁₆ = 1 × 16^2 + 4 × 16^1 + 3 × 16^0 + 5 × 16^-1 + 1 × 16^-2 + 1 × 16^-3
Воспользуйтесь схемой Горнера для представления чисел:
- 12345₁₀: (((((1 × 10 + 2) × 10 + 3) × 10 + 4) × 10 + 5) × 10)
- 12345₈: ((((1 × 8 + 2) × 8 + 3) × 8 + 4) × 8 + 5)
- 0.12345₆: ((((5 ÷ 6 + 4) ÷ 6 + 3) ÷ 6 + 2) ÷ 6 + 1) ÷ 6
Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:
- 120₃ = 1 × 3^2 + 2 × 3^1 + 0 × 3^0 = 9 + 6 = 15
- 100.21₄ = 1 × 4^2 + 0 × 4^1 + 0 × 4^0 + 2 × 4^-1 = 16 + 0 + 0 + 0.5 = 16.5
- 5A.124₁₆ = 5 × 16^1 + 10 × 16^0 + 1 × 16^-1 + 2 × 16^-2 + 4 × 16^-3 = 80 + 10 + 0.0625 + 0.0078125 + 0.000244140625 = 90.070556640625
Длины сторон треугольника заданы числами 12_8, 122_3 и 11011_2.
Переведём эти числа в десятичную систему счисления:
- 12_8 = 1 × 8^1 + 2 × 8^0 = 8 + 2 = 10
- 122_3 = 1 × 3^2 + 2 × 3^1 + 2 × 3^0 = 9 + 6 + 2 = 17
- 11011_2 = 1 × 2^4 + 1 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27
Итак, длины сторон треугольника: 10, 17 и 27.

Проверим неравенство треугольника:
- 10 + 17 > 27 (не выполняется, так как 27 не больше 27)
- 10 + 27 > 17 (выполняется)
- 17 + 27 > 10 (выполняется)
Поскольку первое неравенство не выполняется, треугольник с такими сторонами не существует.
Ответ: Треугольник с длинами сторон 12_8, 122_3 и 11011_2 не существует.
1. Промежуток [202_3; 1000_3]:
  - Переведём границы промежутка в десятичную систему счисления:
  - 202_3 = 2 × 3^2 + 0 × 3^1 + 2 × 3^0 = 2 × 9 + 0 × 3 + 2 × 1 = 18 + 0 + 2 = 20
  - 1000_3 = 1 × 3^3 + 0 × 3^2 + 0 × 3^1 + 0 × 3^0 = 1 × 27 + 0 × 9 + 0 × 3 + 0 × 1 = 27
  - Целые десятичные числа в этом промежутке: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
2. Промежуток [14_8; 20_8]:
  - Переведём границы промежутка в десятичную систему счисления:
  - 14_8 = 1 × 8^1 + 4 × 8^0 = 1 × 8 + 4 × 1 = 8 + 4 = 12
  - 20_8 = 2 × 8^1 + 0 × 8^0 = 2 × 8 + 0 × 1 = 16 + 0 = 16
  - Целые десятичные числа в этом промежутке: 12, 13, 14, 15, 16
3. Промежуток [28_16; 30_16]:
  - Переведём границы промежутка в десятичную систему счисления:
  - 28_16 = 2 × 16^1 + 8 × 16^0 = 2 × 16 + 8 × 1 = 32 + 8 = 40
  - 30_16 = 3 × 16^1 + 0 × 16^0 = 3 × 16 + 0 × 1 = 48 + 0 = 48
  - Целые десятичные числа в этом промежутке: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48
Ответ:
- Для промежутка [202_3; 1000_3]: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
- Для промежутка [14_8; 20_8]: 12, 13, 14, 15, 16
- Для промежутка [28_16; 30_16]: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48
Решение:
1. 47₁₀ = 21_x:
  - Представим число 21_x в десятичной системе:
  - 2x + 1 = 47
  - Решаем уравнение: 2x + 1 = 47
  - 2x = 47 — 1
  - 2x = 46
  - x = 46 / 2
  - x = 23
  Итак, основание x = 23.
2. 1331_x = 216₁₀:
  - Представим число 1331_x в десятичной системе:
  - 1x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 216
  - Решаем уравнение: x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 216
  - x^3 + 3x^2 + 3x + 1 — 216 = 0
  - x^3 + 3x^2 + 3x — 215 = 0
  - Предположим, что x = 5:
  - 5^3 + 3 × 5^2 + 3 × 5 = 215 + 1 = 216
  - Проверка показала, что x = 5 верно.
  Итак, основание x = 5.
Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.
1 * x^2 + 2 * x^1 + 0 * x^0 = 63
Решение уравнения дает x = 7
Сначала переведём границы неравенства в десятичную систему:
- 9D₁₆ = 9 × 16¹ + D × 16⁰ = 9 × 16 + 13 = 144 + 13 = 157
- 237₈ = 2 × 8² + 3 × 8¹ + 7 × 8⁰ = 2 × 64 + 3 × 8 + 7 = 128 + 24 + 7 = 159
Теперь переведём каждое из чисел в десятичную систему:
- 10011010₂ = 1 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 128 + 16 + 8 + 2 = 154
- 10011110₂ = 1 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 128 + 16 + 8 + 4 + 2 = 158
- 10011111₂ = 1 × 2⁷ + 0 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 128 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 159
- 11011110₂ = 1 × 2⁷ + 1 × 2⁶ + 0 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 222
Теперь проверим, какие из этих чисел удовлетворяют неравенству 157 < C < 159:
- 10011010₂ = 154 (не удовлетворяет)
- 10011110₂ = 158 (удовлетворяет)
- 10011111₂ = 159 (не удовлетворяет)
- 11011110₂ = 222 (не удовлетворяет)
Ответ: Число 10011110₂ удовлетворяет неравенству 9D₁₆ < C < 237₈.
Число 311,211₄:
- При переносе запятой на один знак вправо число увеличится в 4 раза, так как основание системы счисления 4:
  - 311,211₄ станет 3112,11₄
  - Величина увеличится в 4 раза
- При переносе запятой на два знака влево число уменьшится в 16 раз:
  - 311,211₄ станет 3,11211₄
  - Величина уменьшится в 16 раз
Число 23,45₆:
- При переносе запятой на один знак вправо число увеличится в 6 раз, так как основание системы счисления 6:
  - 23,45₆ станет 234,5₆
  - Величина увеличится в 6 раз
- При переносе запятой на два знака влево число уменьшится в 36 раз:
  - 23,45₆ станет 0,2345₆
  - Величина уменьшится в 36 раз
Ответ:
- При переносе запятой на один знак вправо:
  - 311,211₄ увеличится в 4 раза
  - 23,45₆ увеличится в 6 раз
- При переносе запятой на два знака влево:
  - 311,211₄ уменьшится в 16 раз
  - 23,45₆ уменьшится в 36 раз
Перенос запятой на два знака вправо для числа в системе счисления с основанием x эквивалентен умножению на x². Согласно условию, это приводит к увеличению числа в 25 раз:
240,13_x × x² = 24013_xИтак, уравнение можно записать следующим образом:
240,13_x × x² = 25 × 240,13_xСокращаем обе стороны уравнения на 240,13_x (при условии, что 240,13_x ≠ 0):
x² = 25
x = 5
Ответ: Основание x равно 5.
Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?
- В двоичной: 111₂ = 7
- В восьмеричной: 777₈ = 511
- В шестнадцатеричной: FFF₁₆ = 4095
Решение:
1. 23_x = 21_y:
  - Представим числа в десятичной системе:
  - 2x + 3 = 2y + 1
  - 2x + 3 = 2y + 1
  - 2x — 2y = -2
  - x — y = -1
  - x = y — 1
  - Минимальные значения x и y: x = 4, y = 5
  Итак, минимальные основания: x = 4, y = 5.
2. 51_x = 15_y:
  - Представим числа в десятичной системе:
  - 5x + 1 = 1y + 5
  - 5x + 1 = y + 5
  - 5x — y = 4
  - y = 5x — 4
  - Минимальные значения x и y: x = 6, y = 26
  Итак, минимальные основания: x = 6, y = 26.
3. 144_x = 441_y:
  - Представим числа в десятичной системе:
  - 1x^2 + 4x + 4 = 4y^2 + 4y + 1
  - x^2 + 4x + 4 = 4y^2 + 4y + 1
  - x^2 + 4x + 4 = 4y^2 + 4y + 1
  - x^2 — 4y^2 + 4x — 4y + 3 = 0
  - Минимальные значения x и y: x = 9, y = 5
  Итак, минимальные основания: x = 9, y = 5.
Ответ:
- Для условия 1: x = 4, y = 5
- Для условия 2: x = 6, y = 26
- Для условия 3: x = 9, y = 5
Переведём числа в десятичную систему счисления:
- 54₇ = 5 × 7 + 4 = 35 + 4 = 39
- 320₅ = 3 × 25 + 2 × 5 + 0 = 75 + 10 + 0 = 85
Теперь запишем уравнение в десятичной системе:
39 + x = 85

Решим уравнение для x:
x = 85 — 39
x = 46

Ответ: x = 46 в десятичной системе.
Общее количество слов:
- Каждая позиция в слове может быть занята одной из трёх букв (И, М, Р).
- Количество слов = 3 × 3 × 3 = 27.
Переведём буквы И, М, Р в цифры тройной системы счисления:
- И = 0
- М = 1
- Р = 2
Теперь переведём слова МИМ, МИР, РИМ в тройную систему счисления:
- МИМ = 101₃ = 1 × 3^2 + 0 × 3^1 + 1 × 3^0 = 9 + 0 + 1 = 10 (слово стоит на 11-м месте)
- МИР = 102₃ = 1 × 3^2 + 0 × 3^1 + 2 × 3^0 = 9 + 0 + 2 = 11 (слово стоит на 12-м месте)
- РИМ = 201₃ = 2 × 3^2 + 0 × 3^1 + 1 × 3^0 = 18 + 0 + 1 = 19 (слово стоит на 20-м месте)
Ответ:
- Общее количество слов: 27
- МИМ на 11 месте
- МИР на 12 месте
- РИМ на 20 месте
Числа, заканчивающиеся на 22 в троичной системе счисления, имеют вид *22₃. Переведём возможные значения в десятичную систему, учитывая, что они не должны превышать 26:
- 22₃ = 2 × 3¹ + 2 × 3⁰ = 2 × 3 + 2 = 6 + 2 = 8
- 122₃ = 1 × 3² + 2 × 3¹ + 2 × 3⁰ = 1 × 9 + 2 × 3 + 2 = 9 + 6 + 2 = 17
- 222₃ = 2 × 3² + 2 × 3¹ + 2 × 3⁰ = 2 × 9 + 2 × 3 + 2 = 18 + 6 + 2 = 26
Таким образом, числа, оканчивающиеся на 22 в троичной системе и не превышающие 26 в десятичной системе, это 8, 17 и 26.

Ответ: 8, 17, 26
Пусть исходное число в троичной системе счисления имеет вид abc₃, где a, b, c — цифры. Перестановка крайних цифр означает, что новое число имеет вид cba₄.Запишем условия задачи:
- Число в троичной системе: a × 3² + b × 3¹ + c × 3⁰ = 9a + 3b + c
- Число в четверичной системе: c × 4² + b × 4¹ + a × 4⁰ = 16c + 4b + a
Приравняем выражения:
9a + 3b + c = 16c + 4b + a

Перенесем все слагаемые в одну сторону уравнения:
9a + 3b + c — 16c — 4b — a = 0
8a — b — 15c = 0

Решим уравнение методом подбора, учитывая, что a больше c:
- a = 2, b = 1, c = 1:
- 8a — b — 15c = 8 × 2 — 1 — 15 × 1 = 16 — 1 — 15 = 0 (уравнение выполняется)
Таким образом, число в троичной системе: 211₃

Проверка:
- 211₃ = 2 × 3² + 1 × 3¹ + 1 × 3⁰ = 2 × 9 + 1 × 3 + 1 = 18 + 3 + 1 = 22
- 112₄ = 1 × 4² + 1 × 4¹ + 2 × 4⁰ = 1 × 16 + 1 × 4 + 2 = 16 + 4 + 2 = 22
Ответ: 211₃ = 112₄.
Составьте алгоритм сравнения двух двухзначных чисел:
1. Сравните первые цифры обоих чисел.
2. Если одна из первых цифр больше, то это число больше.
3. Если первые цифры равны, сравните вторые цифры.
4. Число с большей второй цифрой больше.
Алгоритм сравнения двух n-значных чисел аналогичен, но повторяется для всех цифр чисел.

§ 8

§ 9

§ 10

§ 11

§ 12