10 класс Информатика ГДЗ учебник Босова Параграф 18

10 класс Информатика ГДЗ учебник Босова Параграф 18. Алгебра логики

Стр.187-189.

  1. Из данных предложений высказываниями являются: 3, 4.Высказывание — это утверждение, которое может быть истинным или ложным. Вопросы и просьбы не являются высказываниями, так как они не несут утверждений, которые можно проверить на истинность.
  2. Из каждого триады выберем два высказывания, являющихся отрицаниями друг друга:
    • «1999 < 2000» и «1999 > 2000».
    • «Петя решил все задания контрольной работы» и «Петя не решил все задания контрольной работы».
    • «Луна — спутник Земли» и «Неверно, что Луна — спутник Земли».
    • «Прямая a не параллельна прямой c» и «Прямая a параллельна прямой c».
    • «Мишень поражена первым выстрелом» и «Неверно, что мишень поражена первым выстрелом».

    Высказывания являются отрицаниями друг друга, если одно из них утверждает что-то, а другое — отрицает это же самое.

  3. Элементарные высказывания
    • A: «Река Днепр впадает в Чёрное море» — истинное
    • B: «45 — простое число» — ложное
    • C: «Вена — столица Австрии» — истинное
    • D: «0 — натуральное число» — ложное

    Сложные высказывания

    • Отрицание (инверсия):
      • ¬A
      • ¬B
      • ¬C
      • ¬D
    • Конъюнкция:
      • A & B
      • A & C
      • A & D
      • B & C
      • B & D
      • C & D
    • Дизъюнкция:
      • A v B
      • A v C
      • A v D
      • B v C
      • B v D
      • C v D
    • Импликация:
      • A → B
      • A → C
      • A → D
      • B → A
      • B → C
      • B → D
      • C → A
      • C → B
      • C → D
      • D → A
      • D → B
      • D → C
    • Эквиваленция:
      • A ↔ B
      • A ↔ C
      • A ↔ D
      • B ↔ C
      • B ↔ D
      • C ↔ D

    Всего новых высказываний

    Отрицание: 4
    Конъюнкция: 6
    Дизъюнкция: 6
    Импликация: 12
    Эквиваленция: 6

    Всего новых высказываний: 34

    Истинные высказывания

    • ¬B
    • ¬D
    • A & C
    • A v B
    • A v C
    • A v D
    • B v C
    • C v D
    • A → B
    • A → C
    • A → D
    • B → A
    • B → C
    • C → A
    • C → D
    • D → A
    • D → B
    • A ↔ C

    Всего истинных высказываний: 18

    1. На вкус и цвет товарищей нет.А – товарищ по цвету естьВ – товарищ по вкусу естьС = А ⊕ В
      A B A ⊕ B
      0 0 0
      0 1 1
      1 0 1
      1 1 0
    2. Если долго мучиться, что-нибудь получится.А – долго мучитьсяВ – что-нибудь получитсяС = А → В
      A B A → B
      0 0 1
      0 1 1
      1 0 0
      1 1 1
    3. Не зная броду, не суйся в воду.А – знаешь бродВ – сунулся в водуС = А ↔ В
      A B A ↔ B
      0 0 1
      0 1 0
      1 0 0
      1 1 1
    4. Тяжело в ученье, легко в бою.А – тяжело в ученьеВ – легко в боюС = А → В
      A B A → B
      0 0 1
      0 1 1
      1 0 0
      1 1 1
    5. То не беда, что во ржи лебеда, то беда, что ни ржи, ни лебеды.А – во ржи лебедаВ – ни ржи, ни лебедыС = А ↔ В
      A B A ↔ B
      0 0 1
      0 1 0
      1 0 0
      1 1 1
    6. Где тонко, там и рвётся.А – тонкоВ – рвётсяС = А → В
      A B A → B
      0 0 1
      0 1 1
      1 0 0
      1 1 1
    7. Или грудь в крестах, или голова в кустах.А – грудь в крестахВ – голова в кустахС = А → В
      A B A → B
      0 0 1
      0 1 1
      1 0 0
      1 1 1
    8. За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь.А – гонишься за 2 зайцамиВ – поймал одного зайцаС = А → не В
      A B A → не B
      0 0 1
      0 1 0
      1 0 1
      1 1 0
    9. И волки сыты, и овцы целы.А – волки сытыВ – овцы целыС = А & В
      A B A & B
      0 0 0
      0 1 0
      1 0 0
      1 1 1
  4.  
  5. Подбор высказываний для сложных логических высказываний
    1. Если (A или B и C), то DА – Утром идет дождьВ – Я взял зонтС – Я надел дождевикD – Я не промокнуФормулировка: Если (утром идет дождь или я взял зонт и надел дождевик), то я не промокну.
    2. Если (не A и не B), то (C или D)А – Идет снегВ – Дует сильный ветерС – Я останусь домаD – Я возьму таксиФормулировка: Если (не идет снег и не дует сильный ветер), то (я останусь дома или возьму такси).
    3. (A или B) тогда и только тогда, когда (C и не D)А – Я куплю билет на поездВ – Я поеду на автобусеС – У меня есть деньгиD – Автобус переполненФормулировка: (Я куплю билет на поезд или поеду на автобусе) тогда и только тогда, когда (у меня есть деньги и автобус не переполнен).
  6. Вычисление логических выражений
    1. Выражение: 1 v Х & 0Вычисление:
      • X & 0 = 0
      • 1 v 0 = 1

      Результат: 1

    2. Выражение: X & X & 1Вычисление:
      • X & X = X
      • X & 1 = X

      Результат: X

    3. Выражение: 0 & Х v 0Вычисление:
      • 0 & X = 0
      • 0 v 0 = 0

      Результат: 0

    4. Выражение: 0 v Х & ХВычисление:
      • X & X = X
      • 0 v X = X

      Результат: X

  7. Логические вычисления
    1. 1 v X & 0 = 1
    2. X & X & 1 = X
    3. 0 & X v 0 = 0
    4. 0 v X & X = X

    Проверка чисел на логическое условие

    Условие: ((Z кратно 4) v (Z кратно 5)) → (Z кратно 6)

    1. 4: (4 кратно 4) v (4 кратно 5) → (4 кратно 6) = Истина v Ложь → Ложь = Ложь
    2. 6: (6 кратно 4) v (6 кратно 5) → (6 кратно 6) = Ложь v Ложь → Истина = Истина
    3. 7: (7 кратно 4) v (7 кратно 5) → (7 кратно 6) = Ложь v Ложь → Ложь = Истина
    4. 12: (12 кратно 4) v (12 кратно 5) → (12 кратно 6) = Истина v Ложь → Истина = Истина

    Таким образом, числам 6, 7 и 12 удовлетворяют условию.

  8. Решение задачи1) ¬(Z > 5) & (Z^2 < 100)Рассмотрим каждое условие отдельно:
    • ¬(Z > 5) эквивалентно Z ≤ 5.
    • (Z^2 < 100) верно для всех чисел от -10 до 9.

    Соединим эти условия:

    • Z ≤ 5 и -10 < Z < 10

    Следовательно, Z принимает значения: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

    2) ¬((Z > 5) → (Z > 10))

    Импликация (A → B) ложна только в том случае, если A истинно, а B ложно:

    • (Z > 5) истинно, когда Z больше 5.
    • (Z > 10) ложно, когда Z ≤ 10.

    Следовательно, для значений 6, 7, 8, 9, 10 выражение будет истинным.

    Ответ:

    Для первого выражения: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

    Для второго выражения: 6, 7, 8, 9, 10

  9. Решение задачи1) ((¬(A ∨ B) & B) → C)Для того чтобы выражение ((¬(A ∨ B) & B) → C) было ложным, необходимо, чтобы:
    • ¬(A ∨ B) & B было истинным,
    • а C было ложным.

    Рассмотрим условия для истинности (¬(A ∨ B) & B):

    • ¬(A ∨ B) истинно, когда оба A и B ложны.
    • Но для B это должно быть истинно, поэтому B должно быть истинным.

    Эти два условия противоречат друг другу. Значит, B должно быть ложным, чтобы конъюнкция была ложной.

    Таким образом, для ложности высказывания ((¬(A ∨ B) & B) → C):

    • C = 1 (истинно),
    • B = 0 (ложно),
    • A может быть любым значением (0 или 1).

    2) (A & ¬B ↔ 1)

    Высказывание (A & ¬B ↔ 1) истинно тогда, когда обе части выражения равны.

    • Правая часть выражения 1 всегда истинна.
    • Левая часть выражения A & ¬B должна быть истинной.
    • Для этого A должно быть истинным, а B должно быть ложным.

    Таким образом, для истинности высказывания (A & ¬B ↔ 1):

    • A = 1 (истинно),
    • B = 0 (ложно).

    Ответ:

    Для первого выражения: C = 1, B = 0, A может быть любым (0 или 1).

    Для второго выражения: A = 1, B = 0.

  10. Решение задачиДаны три числа в различных системах счисления:A = 2310, B = 238, C = 1A161. Перевод чисел в двоичную систему счисления:
    • A = 2310 = 101112
    • B = 238 = 1910 = 100112
    • C = 1A16 = 2610 = 110102

    2. Выполнение побитовых логических операций:

    A OR B:

    (A OR B) AND C:

    3. Перевод результата в десятичную систему счисления:

    100102 = 1810

    Ответ: 18

  11. Решение задачи1. Преобразуем 217 из десятичной в двоичную систему:21710 = 1101100122. Найдем логическое отрицание:NOT (110110012) = 0010011023. Преобразуем исходное число обратно в десятичную систему:001001102 = 2^5 + 2^2 + 2^1 = 32 + 4 + 2 = 38Ответ: 38
  12. Решение задачиДиапазон чисел: 1610 до 2210.Двоичная система:
    • 1610 = 100002
    • 1710 = 100012
    • 1810 = 100102
    • 1910 = 100112
    • 2010 = 101002
    • 2110 = 101012
    • 2210 = 101102

    Логическое произведение (AND) всех чисел:

    100002 = 1610 = 208

    Логическая сумма (OR) всех чисел:

    101112 = 2310 = 278

    Ответ: логическое произведение = 208, логическая сумма = 278

  13. Решение задачи
    1. Уравнение: (A ∨ B ∨ C) & (¬B & ¬C & D) = 1Количество решений: 1Возможные значения переменных: B = 0, C = 0, D = 1, A = 1
    2. Уравнение: (A ∨ B ∨ C) ∨ (¬B & C & D) = 0Количество решений: 2Возможные значения переменных:
      • B = 0, C = 0, D = 0, A = 0
      • B = 0, C = 0, D = 1, A = 0
    3. Уравнение: (A → C) ∨ (B & A) ∨ (¬D → B & C) = 0Количество решений: 1Возможные значения переменных: A = 1, C = 0, B = 0, D = 1
    4. Уравнение: (A & B & C) → (C & D) = 1Количество решений: 14Возможные значения переменных:
        • A = 1, C = 0, B = 0, D = 0
        • A = 0, C = 0, B = 0, D = 0
        • A = 0, C = 0, B = 1, D = 0

      Можно через комбинаторику: 2 × 2 × 2 × 2 — 2 = 14

      Каждая переменная может принимать два значения: 0 или 1.

      Отнимаем два решения, где A = 1, B = 1, C = 1, D = 1 и A = 1, B = 1, C = 1, D = 0, так как в этом случае выражение будет ложным.

  14. Решение задачи Уравнение: (x1 & x2) ∨ (x3 & x4) = 1Чтобы уравнение было истинным, хотя бы одна из следующих групп должна быть истинной:
    • x1 & x2
    • x3 & x4

    Каждая из переменных x1, x2, x3, x4 может принимать значение 0 или 1, то есть 2 возможных значения. Общее количество комбинаций для четырех переменных: 2^4 = 16.

    Рассмотрим случаи, когда (x1 & x2) = 1:

    • x1 = 1, x2 = 1 (остальные значения неважны): 2^2 = 4 комбинации.

    Рассмотрим случаи, когда (x3 & x4) = 1:

    • x3 = 1, x4 = 1 (остальные значения неважны): 2^2 = 4 комбинации.

    Возможные пересечения:

    • x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 1 уже учтены в обоих случаях, так что пересечения дают одну комбинацию.

    Итог:

    • Комбинации (x1 & x2) = 1 дают: 4
    • Комбинации (x3 & x4) = 1 дают: 4
    • Итого: 4 + 4 - 1 = 7 комбинаций.

    Количество решений уравнения: 7

  15. 1)

    2)

    3)
  16. Решение задачиПредикат: ((8x - 6) < 75) → (x(x - 1) > 65)Решим неравенства:
    1. 8x - 6 < 75

    Добавим 6 к обеим частям:

    8x < 81

    Разделим на 8:

    x < 10.125

    Поскольку x — целое число:

    x ≤ 10

    1. x(x - 1) > 65

    Решим квадратное неравенство:

    x^2 - x - 65 > 0

    Найдем корни квадратного уравнения:

    x^2 - x - 65 = 0

    Используем дискриминант:

    D = 1 + 4*65 = 261

    Корни уравнения:

    x = (1 ± √261) / 2

    Приблизительно:

    x1 ≈ 8.61

    x2 ≈ -7.61

    Неравенство выполняется для:

    x < -7.61 или x > 8.61

    На множестве целых чисел:

    x ≤ -8 или x ≥ 9

    Пересечение интервалов:

    x ≤ 10 и x ≥ 9

    Наибольшее целое число, при котором предикат превращается в ложное высказывание:

    x = 8

    Ответ: множество истинности предиката: x ≤ -8 или x ≥ 9

    Наибольшее целое число x, при котором предикат ложен: 8

 

§ 16 § 17 § 18 § 19 § 20
➤